第2章 物理量と単位

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2.1 物理量は, 数値×単位

数学は数を抽象的な概念として扱う

一方、現実の様々な問題では、具体的な実体を表す量を扱う

数値と単位の積で表す

cmを160個分集めた量

単位をつけ忘れる人が多いが、これは危険な態度

探査機を制御する2つのチームが、片方はメートルやキログラム、もう片方はヤードやポンドという単位を使ったため、データ共有に失敗して、制御不能になった

薬剤80mgを処方するつもりだったが、80アンプルと勘違いされ、看護師が800mgの薬剤を投与した

複数の物理量は単位を揃えないと足したり引いたり大きさを比べたりできない

$ \mathrm{0.2m + 1.23m = 1.43m} \qquad (2.1)

$ \mathrm{20cm + 123cm = 143cm} \qquad (2.2)

このような話を当たり前と思わずに、よく考える

単位は単なる添え物ではなく、物理量の重要な一部

2.2 次元

どんなに頑張っても単位を揃えられない量どうしも存在する

20cmと5時間

こう考えれば、世の中の様々な物理量は「互いに単位を揃えられるかどうか」という観点で分類できる

20cmは「長さ」という次元を持つ

5時間は「時間」という次元を持つ

次元が違う量どうしは、足したり引いたり、大小を比べたりできない

2.3 単位の掛け算と割り算

単位は普通の数と同様に掛け算や割り算ができる

例2.3

隣接する2辺の長さが2mと3mであるような長方形の面積は

$ \mathrm{2m\times3m=6m^2} \qquad (2.3)

例2.4

100mの距離を20秒で走る人の(平均の)速さは

$ \mathrm{\frac{100m}{20秒}=5m/秒} \qquad (2.4)

「毎…」は「…という単位あたり」と同じこと

世間にはこの「毎…」や「1…あたり」を省略する悪習がある。真似してはいけない

例2.5

「日本のGDPは1人あたり約4万ドル」

1人あたり1年間あたり約4万ドル、もしくは約4万ドル/(人・年)が正しい

例2.6

「台風の中心付近の瞬間最大風速は40m」

毎秒40m、もしくは40m/秒、もしくは1秒あたり40mが正しい

例2.7

「シーベルト毎時」「シーベルト毎年」をどちらも「シーベルト」と省略してしまう報道がある

「毎時1シーベルト」は「毎年1シーベルト」の約8800倍

2.4 単位を埋め込んで計算しよう！

式(2.3)を次のように書く人が多い

$ 2\times3 = 6\mathrm m^2 \qquad (2.5)

高校の参考書もこのような記法を勧めていたり、科学者でもこう書く人がいるが、これは変だ

というのも、もしこれがOKなら「隣接する2辺の長さが2cmと3cmの長方形の面積は？」という問題にも次のように書けるはず

$ 2\times3 = 6\mathrm{cm}^2 \qquad (2.6)

式(2.5)と式(2.6)の左辺は共通なので、等号の公理から

$ \mathrm{6m^2 = 6cm^2} \qquad (2.7)

単位を持つ量の計算は、式の中に数値だけでなく単位も埋め込むべき

そうすれば誤記やつけ忘れという重大なミスを防止できる

例2.8

120gで600円の肉は900gでいくらか？

単位を頼りに考えると楽

$ \mathrm{\frac{600円}{120g}\times900g=\frac{600\times900}{120}\frac{円g}{g}=4500円 \qquad (2.8)}

数値は数値で計算し、単位は約分して簡単にすれば、最後に「円」という欲しかった量の単位が現れ、立式が正しかったことが裏付けられる

もしもこの問題をうっかり

$ \mathrm{\frac{120g}{600円} \times 900g = \cdots \qquad (2.9)}

例2.9

小学校で速さと道のりと時間の関係を

$ 速さ＝道のり\div時間

$ 道のり=速さ\times時間

$ 時間=道のり\div速さ

これを「みはじ」という図式で覚えた人も多い

$ \frac{み}{は|じ} \qquad (2.10)

しかし、このような図式を忘れても、単位チェックすれば正しく計算できる

速さ3m/秒で5秒間だけ走るときの道のりは、単位も埋め込んで正しく計算すれば無事に距離の単位が出てくる

$ \mathrm{3\frac{m}{秒}\times5秒=15m\qquad(2.11)}

これを割り算にしたりすると変な単位が出てくる

目標とする単位が最終的に残るように立式すればよい

この方法の最大の利点は「ミスを防いでくれること」

数値だけの計算はミスしやすいが単位がそれをチェックしてくれる

仕事でのミスは大事故や大損害になりかねない

$ \mathrm{\frac{500}{5}\frac{リットル}{時間}\times2時間}= 200リットル

$ 4000\times\frac{5}{500}\frac{リットル\cdot時間}{リットル} = 40時間

2.5 無次元量

同じ次元を持つ量どうしの割り算は面白い結果になる

この量には単位がない

単位を伴わずに数だけで表現できる量

物理量を数と単位の積で表すとき、その数は無次元量である

$ L/\mathrm{cm} = 15 \qquad (2.12)

左辺はLもcmも長さという次元の量であり、したがって、その割り算は無次元量になる

したがって右辺の15は無次元量である

式(2.12)は見慣れないかもしれないが、これは国際的にも認められた、立派な表記法

2.6 国際単位系(SI)

それぞれ次元に対応する単位を定めたセット

長さの単位: m(メートル)

質量の単位: kg(キログラム)

時間の単位: s(秒)

電流の単位: A(アンペア)

温度の単位: K(ケルビン)

物質量(個数)の単位: mol(モル)

光量の単位: cd(カンデラ)

SI基本単位の積や商で、様々な量の単位を作る

国際単位系は、SI基本単位とSI組立単位、そしてそれらの記法や用法に関するルールからなる

SI組み立て単位で、積の順序は任意

国際単位系の単位ではないが、慣習的によく使われる単位

min(minute)

$ \mathrm{1min = 60s}

h(hour)

$ \mathrm{1h = 60min = 3600s}

a(アール)

$ \mathrm{1a=100m^2}

$ \mathrm{1L = 10^{-3}m^3}

cc(cubic centimeter)

$ \mathrm{1cc=1cm^3}

t(トン)

$ \mathrm{1t=10^3kg}

例2.10

接頭辞は単体では単位にはならない

ダメな例: 「50キロ」「2センチ」「5ミリ」

科学的・公的な記録・連絡・発表の中では慎む

hやmは時間やメートルと被るが、何らかの単位を伴って最初の文字として現れることを意識すれば、これらを混同することはない

接頭辞の後に2条や3乗のついた単位がくるときは要注意

接頭辞は直後に来る単位とまず結びつく

そして、単位の2乗や3乗はその「接頭辞つきの単位」についてかかる

$ \mathrm{0.001km}

$ \mathrm{1000m}

$ \mathrm{0.01m}

$ \mathrm{1m^2 = 1 \times (10^{-3}km)^2 = 10^{-6}km^2}

$ \mathrm{1km^2 = 1\times(10^3m)^2= 10^6m^2}

$ \mathrm{1cm^2 = 1 \times (10^{-2}m)^2 = 10^{-4}m^2}

$ \mathrm{0.001km^3}

$ \mathrm{1km^3 = 1 \times (10^3m)^3 = 10^9m^3}

$ \mathrm{1cm^3 = 1 \times (10^{-2}m)^3 = 10^{-6}m^3}

$ \mathrm{1dm^3 = 1 \times (10^{-1}m)^3 = 10^{-3}m^3}

$ \mathrm{0.0001m}

$ \mathrm{0.000001m}

$ \mathrm{1000nm}

$ \mathrm{0.000001g}

$ \mathrm{100ha}

$ \mathrm{0.009km^2 = 9\times10^3m^2}

$ \mathrm{0.00003km^3 = 3\times10^4m^3}

$ \mathrm{1mL} = \mathrm{1 \times 10^{-3} \times 10^{-3}m^3 = 10^{-6}m^3}

$ \mathrm{1cm^3 = 1 \times (10^{-2}m)^3 = 10^{-6}m^3}

$ \mathrm{1L = 1 \times 10^{-3}m^3}

$ \mathrm{1dm^3 = 1 \times (10^{-1}m)^3 = 10^{-3}m^3}

$ \mathrm{1kL = 1 \times 10^3 \times 10^{-3}m^3 = 1m^3}

$ \mathrm{1Gt = 1 \times 10^9 \times 10^3kg = 10^{15}g}

$ \mathrm{1Pg = 10^{15}g}

他の国際単位系の約束

変数や定数を表すアルファベットは斜体表記せよ

特定の関数を表すアルファベットは立体表記せよ

単位を表すアルファベrっとは立体表記せよ

数値と単位の間には半角スペースをあけよ

組み立て単位は、単位どうしの間に半角スペースをあけよ

接頭辞と単位の間にはスペースをあけるな

これらのルールは日本では国内規格(JIS規格)にもなっている

国内外を問わず、科学技術文書はこのような表記を使う

2.7 単位の換算

$ \mathrm{7.5km\ h^{-1}=7.5\frac{km}{h} = 7.5 \times \frac{1000m}{3600s}=2.08\cdots m\ s^{-1} \fallingdotseq 2.1m\ s^{-1} \qquad (2.13)}

7.5の有効数字は2桁と判断あされるので、結果も有効数字2桁にした

$ \mathrm{2.0g/s = 2.0\frac{g}{s}=2.0\frac{10^{-3}kg}{(1/3600)h}=2.0\times\frac{3600}{1000}kg/h=2.0\times3.6kg/h=7.2kg/h \qquad (2.14)}

このように単位の換算は機械的にできる

組立単位を構成する各単位をそれぞれ別の単位に換算し、そこで出てきた係数を計算すればよい

このやり方がよくわからない人にはかわりに次の方法を勧める

$ \mathrm{7.5\frac{km}{h}} \qquad (2.15)

$ =\mathrm{7.5\frac{km}{h}\frac{1000m}{km}\frac{h}{3600s}} \qquad (2.16)

$ =\mathrm{7.5\frac{1000}{3600}\frac{km}{h}\frac{m}{km}\frac{h}{s}} \qquad (2.17)

$ \mathrm{=\frac{75}{36}\frac{m}{s}=2.08\cdots m\ s^{-1} \qquad(2.18)}

$ \mathrm{\fallingdotseq 2.1m\ s^{-1} \qquad (2.19)}

ここで式(2.15)から式(2.16)に行く時に

$ \mathrm{\frac{1000m}{km}と\frac{h}{3600s}\qquad(2.20)}

物理量を実際の現象と結びつけて把握する習慣をつける

$ \mathrm{2.0 g/s = 2.0\frac{g}{s}\frac{1kg}{1000g}\frac{3600s}{1h}=2\frac{3600}{1000}\frac{kg}{h}=7.2kg/h}

$ \mathrm{3tの水＝3m^3の水\qquad(2.21)}

と言ってよい。だからといって

$ \mathrm{3t=3m^3\qquad(2.22)}

というのは間違い。

式(2.21)が成り立つのは、水の密度がほぼ一定だから

密度が一定であれば質量と堆積は比例するから、どちらを使っても実用上は構わない

2.8 力の単位

理系はどんな分野でも力やエネルギーの概念が必要

$ F=ma\qquad(2.23)

この式は、本書の他の多くの数式とは根本的に性格が異なる

本書の多くの数式は、定義や公理か、それらをもとに導出される定理か、それらをっ用いた計算式

ところが式(2.23)はそのいずれでもない

その式の根拠は、公理でも論理でもなく、実験事実

「なぜ成り立つのかは誰にもわからないが、成り立つと認めると、様々な自然現象のつじつまが合う」という式

式(2.23)は中学理科や高校物理基礎で学ぶｋが、全ての科学で最も大切な常識の一つ

科学の数式で出てくる記号は、その量の頭文字から取られることが多い

$ F=\mathrm{2.0\ kg \times 3.0\ m\ s^{-2}=6.0\ kg\ m\ s^{-2}}

これが国際単位系における力の単位

$ \mathrm{N:=kg\ m\ s^{-2}\qquad(2.24)}

重さと質量の違い

重さ

重力は力の一種

だから重さは力の単位で表すのが科学的には正しい

重さは場所によって変わる

質量

同じ物体の質量は不変

もう少し丁寧に

質量

加速度は速度が単位時間あたりにどれだけ変化するか、という量であることに注意

それは無重力空間でも変わらない

国際宇宙ステーションの中に1kgの物体と10kgの物体の2つをまず静止状態で浮かせて、次にそれらを同じ力で同じ時間だけ押すと、1kgの物体の方が速く飛んでいくだろう

重さ

式(2.23)とは別の重要な物理法則が教えてくれる

それは「物体どうしには、互いに引き合う力が生じ、その大きさは、各物体の質量の積に比例し、距離の2乗に反比例する」という法則

そのような力のことを重力という

つまり重さは、その物体の質量と地球の質量の積に比例し、地球半径の2乗に反比例する

地球質量と地球半径はほぼ一定なので、「地表限定」の条件下では、重さは物体の質量だけで決まる

特に1kgの物体の重さは地表上のどこでも約9.8Nでほぼ変わらないので「1kgの物体の地上での重さ」を力の単位としてもよかろう

正確な定義

$ \mathrm{1\ kgf:=9.80665\ N \qquad (2.25)}

実際、土木や建築等の工学では力をkgfであらあわす事が多い

しかし、kgfは国際単位系の単位ではないので、科学ではkgfを使うことは避ける方がよい

世の中では往々にして重さの単位kgfのfをが略されて、本来は質量の単位であるkgと混同される事が多い

日常生活では誤記してもそんなには困らないが、科学の世界では明確に区別せねばならない

2.9 エネルギー, 圧力, 仕事率の単位

物体に力をかけて移動させるとき、力と、その力の方向に動いた距離との積

仕事と等価な量(仕事に形を変えることができる量)のこと

$ \mathrm{J:=N\ m\qquad(2.26)}

となる(定義)

エネルギーは仕事と等価な量なので、エネルギーの単位は仕事と同じ単位(SIではJ)

面に一様に力がかかるとき、その力を面積で割ったもの

$ \mathrm{Pa:=N/m^2=N\ m^{-2} \qquad (2.27)}

ある時間内になされた仕事や、出入りした熱や、エネルギーの増減量を、その時間で割ったもの

$ \mathrm{W:=J/s=J\ s^{-1} \qquad (2.28)}

よくある質問: 電力の単位では？

$ \mathrm{V = J/C}

$ \mathrm{A = C/s}

$ \mathrm{W = V \times A = (J/C) \times (C/s) = J/s = W}

$ \mathrm{J = kg\ m\ s^{-2}\ m = kg\ m^2\ s^{-2}\qquad (2.37)}

$ \mathrm{Pa = kg\ m\ s^{-2}/m^2=kg\ m^{-1}\ s^{-2} \qquad(2.38)}

$ \mathrm{W=kg\ m^2\ s^{-2}/s = kg\ m^2\ s^{-3} \qquad (2.39)}

圧力の単位にatm(気圧)というのがある

$ \mathrm{1\ atm := 1013.25\ hPa}

atmosphereの略

1atmを1気圧ともいう

記憶せよ

もともと1calは「質量1gの水の温度を1℃上げるのに必要な熱量」と定義されていたが、それは条件次第で微妙に異なるので、今はJとの関係で定義されている

2.10 dimension check

例2.14

$ K:=\frac{1}{2}m\ v^2 \qquad (2.29)

この両辺の単位を国際単位系で考えよう

辻褄が合っている

等式の両辺は、互いに同じ物理量を表すのだから、同じ単位で表せる(次元が一致している)はず

ところが何かミスをすると、左辺と右辺で単位は一致しなくなる事が多い

このことは、その式が正しくできているかどうかの検算に使える

単位を式に埋め込んで計算すれば、結果t系にdimension checkにもなる

$ S=4\pi r^2 \qquad (2.30)

$ V=\frac{4}{3}\pi r^3 \qquad(2.31)

逆に覚えている人にdimension checkを使って間違いを教えるにはどう言えばよいか

2.11 例外！

「物理量は数値と単位の積」と述べたが、そうではない場合が存在する

例2.15

つまり、摂氏で表された温度は「数値と単位の積」ではない

$ \mathrm{0^\circ C = 273K \qquad (2.32)}

である。ところがこの両辺を2倍すると

$ \mathrm{0^\circ C = 546K \qquad (2.33)}

となってしまう。この2つの式に式(1.4)を使うと

$ \mathrm{273K = 546K\qquad (2.34)}

となってしまう。どこでどう間違ったのか

式(2.32)から式(2.33)にいくとくに、左辺を

$ \mathrm{2\times 0^\circ C = 0^\circ C \qquad (2.40)}

と変形したのが間違い。ここでは暗黙のうちに

$ \mathrm{2\times(0^\circ C)=(2\times0)^\circ C=0^\circ C \qquad (2.41)}

という変形をしているが、最初の変形で積の結合法則(式(1.22))を使っている

$ \mathrm{pH:=-\log_{10}\frac{[H^+]}{mol\ L^{-1}}\qquad (2.35)}

問40

(1) 次式を示せ

$ \mathrm{[H^+]=10^{-pH}mol\ L^{-1} \qquad (2.36)}

$ \mathrm{-pH=\log_{10}\frac{[H^+]}{mol\ L^{-1}}}

対数の定義

$ \mathrm{10^{-pH}=\frac{[H^+]}{mol\ L^{-1}} }

$ \mathrm{pH} \approx 2.3

$ \frac{(10^{-5}+10^{-3})x\ \mathrm{mol}}{2x \mathrm L} = \frac{10^{-5}+10^{-3}}{2}\mathrm{mol\ L^{-1}} = 5.05 \times 10^{-4}\ \mathrm{mol\ L^{-1}}

したがって

$ \mathrm{pH = -\log_{10}(5.05\times10^{-4})\approx 3.3}

このように℃やpHといった単位で表された量は「数値と単位の積」ではない

このような変な単位は、単位同士の掛け算、割り算、約分はできないからそれを利用した単位換算法も使えない

式(2.12)のような表現も、dimension checkも使えない

このような「変な単位」のからむ計算や変換は、面倒であっても「数値と単位の積」に書き換えて処理する方が良い場合が多い